Teoría de Colas: M/M/1 y M/M/c

Teoría de Colas en lenguaje claro

El problema

Cualquier sistema donde clientes llegan a recibir un servicio (banco, supermercado, peaje, soporte técnico) y deben esperar si el servidor está ocupado. La teoría de colas modela esto matemáticamente para ayudar a dimensionar el sistema: ¿cuántos cajeros pongo? ¿cuánto tiempo van a esperar mis clientes? ¿qué pasa si la demanda crece 20 %?

La notación de Kendall: A/B/c

Tres letras describen el modelo:

• A: distribución de llegadas (M = Markoviana/Poisson, D = determinística, G = general).
• B: distribución del servicio (M, D, G).
• c: número de servidores en paralelo.

M/M/1 = llegadas Poisson, servicio exponencial, 1 servidor. M/M/c = lo mismo con c servidores. Son los modelos más usados porque tienen fórmulas cerradas.

Las dos tasas clave

• λ (lambda): tasa de llegada. Si llegan 12 clientes por hora en promedio, λ = 12.
• μ (mu): tasa de servicio por servidor. Si un cajero atiende 15 clientes/hora en promedio (tiempo medio = 4 minutos), μ = 15.

La utilización ρ

ρ = λ/(c·μ). Es la fracción del tiempo que los servidores están ocupados. El sistema es estable solo si ρ < 1. Si ρ ≥ 1, la cola crece sin límite (lo que llamamos "saturación").

• ρ < 0.5: sistema holgado, esperas mínimas.
• 0.5 ≤ ρ < 0.8: zona operativa típica.
• 0.8 ≤ ρ < 0.95: alta carga, las esperas crecen no linealmente.
• ρ ≥ 0.95: peligro - cualquier pico saturará el sistema.

Las cuatro métricas clásicas (Little)

Las fórmulas de Little relacionan las cuatro métricas:

• L = λ·W (clientes en sistema = tasa × tiempo en sistema)
• Lq = λ·Wq (clientes en cola = tasa × tiempo en cola)
• W = Wq + 1/μ (tiempo en sistema = espera + servicio)

Para M/M/1: L = ρ/(1-ρ), Lq = ρ²/(1-ρ), W = 1/(μ-λ).

El "efecto sorpresa" de la utilización

La relación entre ρ y el tiempo de espera no es lineal: a ρ = 0.5, Wq ≈ 1/μ. A ρ = 0.9, Wq ≈ 9/μ. A ρ = 0.95, Wq ≈ 19/μ. Doblar la utilización de 50% a 95% multiplica el tiempo de espera por 19. Por eso los sistemas reales no se diseñan al 95% - el costo de servicio es lineal pero el de espera explota.

M/M/1 vs M/M/c

A misma utilización ρ, M/M/c es siempre mejor que M/M/1 con un servidor más rápido equivalente (más capacidad total). Ejemplo: 4 cajeros a 15/hora cada uno son mejores que 1 cajero a 60/hora a nivel agregado, porque varias filas paralelas amortiguan picos. Es el principio detrás de "una sola fila para varias cajas" en bancos modernos.

Limitaciones de M/M

• Asume servicio exponencial: en la práctica los servicios son menos variables (más concentrados alrededor de la media). M/G/1 es más realista pero requiere fórmulas adicionales.
• Asume llegadas Poisson: bueno para llegadas independientes (clientes minoristas) pero falla con llegadas correlacionadas (autobuses cargados, eventos coordinados).
• Asume estacionariedad: las tasas no cambian con el tiempo. En la realidad hay horas pico y valle.
• Asume cola infinita y disciplina FIFO: si hay capacidad limitada (M/M/c/K) o prioridades, el modelo cambia.

Aplicaciones reales

• Bancos y supermercados: número de cajeros, esperas promedio.
• Call centers: agentes necesarios para nivel de servicio objetivo (ej: 80 % atendidos en 20s).
• Telecomunicaciones: dimensionamiento de líneas y servidores.
• Hospitales: camas de UCI, médicos en urgencias.
• Logística: muelles de carga, capacidad de almacén.
• Tráfico: peajes, intersecciones, semáforos.

Tip de operaciones: diseñar al 100 % de utilización es matemáticamente imposible (sistema saturado). Diseñar al 70-85 % es lo estándar. Si tu sistema real está por encima del 85 %, planifica capacidad adicional - cualquier pico te va a colapsar.