Derivados y opciones

Calculadora Black-Scholes con Griegas

Valoración de opciones europeas (call y put) por el modelo Black-Scholes-Merton. Calcula precio teórico, todas las griegas (delta, gamma, theta, vega, rho), volatilidad implícita por bisección y gráfica el payoff al vencimiento.

Precios Black-Scholes

- / -

Call / Put en USD.

d₁

-

(ln(S/K) + (r-q+σ²/2)T) / (σ√T)

d₂

-

d₁ - σ√T

N(d₁) / N(d₂)

-

Probabilidades acumuladas.

Volatilidad implícita

-

Por bisección.

Paridad put-call

-

C - P = Se^(-qT) - Ke^(-rT)

Moneyness

-

S/K.

Griegas

GriegaCallPutInterpretación

Payoff y P&L al vencimiento

P&L Call (long) P&L Put (long) Strike K

Black-Scholes en lenguaje claro

Qué es Black-Scholes
El modelo BSM (1973) revolucionó las finanzas dando una fórmula cerrada para valorar opciones europeas. Su supuesto clave: el precio del subyacente sigue un movimiento browniano geométrico con volatilidad constante. Aunque la realidad es más compleja, sigue siendo la base de todo el resto de la teoría de opciones.
La fórmula del call
C = S·e^(-qT)·N(d₁) - K·e^(-rT)·N(d₂), donde N() es la CDF normal estándar. El primer término es el valor descontado de recibir el subyacente; el segundo, el costo descontado de pagar el strike.
Las cinco griegas que debes conocer
  • Delta (Δ): cambio del precio de la opción por cambio de 1 unidad en S. Para call está entre 0 y 1; para put entre -1 y 0.
  • Gamma (Γ): cambio de delta por cambio en S. Mide la curvatura. Máxima at-the-money.
  • Theta (Θ): cambio del precio por el paso del tiempo. Generalmente negativa para long: las opciones pierden valor con el tiempo.
  • Vega (ν): cambio por 1% de cambio en volatilidad. Long opciones = long vega.
  • Rho (ρ): cambio por 1% de cambio en r. Más relevante para opciones largas en tiempo.
Paridad put-call
Una relación de arbitraje sin supuesto distribucional: C - P = S·e^(-qT) - K·e^(-rT). Si no se cumple en el mercado, hay oportunidad de arbitraje. Esta calculadora muestra la diferencia residual para verificar consistencia.
Volatilidad implícita
Dado un precio de mercado, es la σ que hace que BSM reproduzca ese precio. El mercado de opciones suele cotizarse en volatilidad implícita más que en precio. La "sonrisa de volatilidad" (smile / skew) es la observación de que la IV varía con el strike, contradiciendo el supuesto BSM de σ constante.
Cuándo NO usar Black-Scholes
  • Opciones americanas con dividendos: ejercicio anticipado puede ser óptimo. Usa árboles binomiales o métodos numéricos.
  • Volatilidad cambiante: usa modelos GARCH, Heston, SABR.
  • Saltos en el precio: usa modelos de saltos (Merton 1976).
  • Opciones exóticas path-dependent: barreras, asiáticas, lookback - generalmente requieren Monte Carlo o PDEs específicas.
Aplicaciones reales
  • Valoración de stock options en compensación de ejecutivos.
  • Cobertura delta-neutral de carteras.
  • Pricing de derivados estructurados.
  • Análisis de opciones reales en proyectos de inversión.
  • Riesgo de cartera (Value-at-Risk basado en opciones).

Tip CFA / examen: memoriza que delta ATM ≈ 0.5 (call) y -0.5 (put). Que vega y gamma son máximas at-the-money. Y que el valor de una opción se descompone en valor intrínseco + valor temporal, donde el segundo siempre es positivo para opciones europeas vivas.

📖 Lectura recomendada: CFA Nivel I cheat-sheet en español - todas las fórmulas de derivatives + griegas + put-call parity en un solo lugar.