Frontera Eficiente y Optimización de Markowitz

Markowitz: la base de la teoría moderna de carteras

La idea central de Markowitz

Antes de 1952, los inversionistas elegían activos individualmente buscando alto retorno. Harry Markowitz mostró matemáticamente que el riesgo de una cartera depende de las correlaciones, no solo de la volatilidad individual. Combinar activos imperfectamente correlacionados reduce riesgo sin sacrificar retorno proporcionalmente. Esa intuición le valió el Nobel en 1990.

Las fórmulas básicas

Retorno de cartera: E(R_p) = Σ wᵢ · E(Rᵢ)
Varianza de cartera: σ²_p = Σ Σ wᵢ·wⱼ·σᵢⱼ
Donde σᵢⱼ = correlaciónᵢⱼ · σᵢ · σⱼ (covarianza entre activos i y j).

La frontera eficiente

El conjunto de carteras que para cada nivel de riesgo ofrecen el máximo retorno posible. Cualquier cartera por debajo es ineficiente: podrías tener más retorno con el mismo riesgo, o el mismo retorno con menos riesgo. La curva tiene forma de bala apuntando a la izquierda.

Cartera de mínima varianza

El punto más a la izquierda de la frontera: la cartera de menor riesgo posible combinando estos activos. No siempre es la mejor (puede tener retorno bajo), pero es la más "defensiva".

Cartera tangencial (máximo Sharpe)

Cuando incluyes la tasa libre de riesgo, hay UNA cartera única en la frontera que maximiza el Sharpe ratio: Sharpe = (E(R) - Rf) / σ. Esta es la cartera "óptima" en el sentido de mayor recompensa por unidad de riesgo. La línea desde Rf tangente a la frontera se llama Capital Allocation Line (CAL).

Por qué la correlación lo cambia todo

• ρ = +1: cero diversificación. Combinar activos no reduce riesgo.
• ρ = 0: diversificación clásica. La volatilidad de la cartera baja.
• ρ = -1: diversificación perfecta. Puedes (teóricamente) eliminar todo el riesgo combinando proporciones adecuadas.

Es por esto que tener "10 acciones tecnológicas" no es diversificación real - todas se mueven juntas. Tener acciones + bonos + oro + cripto sí lo es, porque tienen correlaciones más bajas.

Limitaciones del modelo

• Garbage in, garbage out: la frontera depende fuertemente de los retornos esperados estimados (notoriamente difíciles de pronosticar).
• Correlaciones inestables: las correlaciones cambian, sobre todo en crisis (cuando todo cae junto - "correlation goes to 1").
• Asume distribución normal: la realidad tiene colas pesadas, los eventos extremos son más frecuentes de lo que el modelo predice.
• Sin restricciones a corto/largo: este implementador permite shorts. La versión long-only requiere optimización con restricciones.
• Mean reversion: rebalancear a los pesos óptimos requiere disciplina.

Aplicación práctica

1. Estima retornos esperados desde datos históricos largos (típicamente 5-10 años).
2. Calcula matriz de covarianzas con datos mensuales o semanales.
3. Define tu nivel de aversión al riesgo: si eres conservador, te acercas a mínima varianza; si tolerás más, a la cartera tangencial.
4. Rebalancea trimestral o semestralmente.
5. Re-estima los inputs anualmente.

Conexión con tus otras herramientas

Para estimar Sharpe ratios individuales o testear si dos activos tienen retornos significativamente distintos, usa la calculadora de test de hipótesis. Para análisis de retornos históricos, la calculadora de series de tiempo te da volatilidad y autocorrelación.

Tip de gestión de cartera: en la práctica institucional, los gestores usan Black-Litterman (1992) para resolver el problema de inputs inestables: combinan retornos de mercado implícitos con views específicas del gestor. Para retail, una cartera 60/40 (acciones/bonos) sigue ganando a la mayoría de optimizaciones complejas a largo plazo.

📖 Lectura recomendada: CFA Nivel I cheat-sheet - Portfolio Management con Sharpe, Treynor, Information ratio y CAPM en una página.